Opgave 1: Een grote schuur zit vol met graan. Het rantsoen voor één werkman bedraagt 7 sila graan.
Hoeveel werkmannen kunnen daar dan een rantsoen van krijgen, als je weet dat de schuur 2400 gur graan bevat en dat 1 gur overeenkomt met 480 sila? Dit is het oudste vraagstuk dat ooit gevonden is. Het staat op een kleitablet die dateert uit het derde millennium voor Christus en gevonden is in Shuruppak in Mesopotamië. Zoals de talloze andere vraagstukken die de voorbije eeuwen vrijwel overal ter wereld zijn gemaakt en gebruikt, lijkt het verrassend goed op de contextgebonden rekenopgaven die we vandaag de dag in onze rekenmethoden aantreffen. Door hun lange geschiedenis heen zijn vraagstukken voor allerlei doeleinden gebruikt. Hun belangrijkste functie was, en is nog steeds, de aangeleerde wiskundige begrippen, bewerkingen, formules, enz. leren gebruiken in het leven van alledag. Maar ze vervulden, en vervullen nog steeds, ook verscheidene andere doelen: het wiskundeonderwijs aantrekkelijker maken, het probleemoplossend vermogen van leerlingen bevorderen of evalueren, en – vooral de laatste decennia – als vertrekpunt fungeren voor het bijbrengen van nieuwe wiskundige leerinhouden. In dit korte artikel wordt de stand van zaken na vier decennia vraagstuk-kenonderzoek besproken. Zoals hierboven wordt telkens begonnen met een startopgave.
Opgave 2: Ibrahim heeft 8 druiven en Wendy heeft er 3.
Hoeveel druiven heeft Ibrahim meer dan Wendy? Hoe heb je dit vraagstukje opgelost? Allicht heb je bij het zien ervan meteen de formeel-wiskundige bewerking geïdentificeerd die in het vraagstukje verscholen ligt, en heb je daarna die bewerking uitgevoerd: 8-3=5. Jonge kinderen uit pakweg groep 2- begin groep 3 zijn vaak ook al in staat om dit soort vraagstukjes langs een andere, informele weg op te lossen. Neem bijvoorbeeld de vijfjarige Thomas, die een rij van 8 schijfjes legt, daaronder een rij van 3 legt, en vervolgens telt hoeveel schijfjes uit de onderste rij geen overeenkomstig schijfje hebben in de bovenste rij, en tenslotte de uitkomst van dat telproces als antwoord geeft: 5. Wanneer Thomas achteraf gevraagd wordt om een bewer-king te noteren die bij dit vraagstukje past, lukt dat niet. Eerst probeert hij 3+8=5, dan 3+3+ =5, en tenslotte 3…8=5, terwijl hij fluistert: “Ik weet niet wat ik tussen 3 en 8 moet schrijven. Voor zij formeel onderwijs hebben gekregen in de wiskun-dige basisbewerkingen, kunnen kinderen dus al vraagstukjes oplossen. Zij maken daarvoor gebruik van informele oplossingsstrategieën. Die informele oplossingsstrategieën sluiten nauw aan bij wat er in het vraagstuk wordt verteld.
Opgave 3: Er zijn 5 vogels en 3 wormen.
Hoeveel meer vogels dan wormen zijn er? In een beroemde studie kreeg één groep 5-6 jarigen dit vergelijkingsvraagstukje aangeboden, terwijl een andere groep hetzelfde vraagstukje in een aangepaste vorm voor-geschoteld kreeg: “Er zijn 5 vogels en 3 wormen. Stel dat elke vogel een worm probeert te pakken. Hoeveel vogels hebben er dan geen worm?” Door het vraagstukje zo te herformuleren dat de één-op-één relatie tussen de twee hoeveelheden sterker benadrukt wordt en door de complexe uitdrukking “meer dan” eruit te verwijderen, was er een grote toename van het aantal juiste oplossingen.Inderdaad, door een vraagstuk anders te formuleren kan je het veel makkelijker of moeilijker maken.
Opgave 4
Heb je bij het oplossen van dit vraagstuk naar de tekening gekeken? Heeft die jou geholpen het vraagstuk op te lossen? Zo ja, hoe? Of heeft ze je eerder in de war gebracht, bijv. omdat je niet wist of de hoogte van de plint in de opgegeven hoogte van de kamer is inbegrepen.
Er is veel onderzoek verricht naar de soorten illustraties die bij vraagstukken worden gebruikt, en hoe zij het oplossingsproces en het -resultaat beïnvloeden. Zo maakt men onderscheid tussen louter decoratieve illustraties (die geen enkele band hebben met het vraagstuk, bijv. een kind dat aan het denken is), representationele illustraties (die de probleemsituatie of een onderdeel ervan voorstellen, zoals in het vraagstuk hierboven), structurele illustraties (die de oplosser ook al op weg zetten richting oplossing, bijvoorbeeld door een verhoudingsschema aan te bieden), en informatieve illustraties (die essentiële informatie bevatten die in de tekst zelf niet te vinden is). Representationele en structurele afbeeldingen kunnen een gunstige invloed hebben op de prestaties op vraagstukken, maar het effect is meestal beperkt en het hangt van veel factoren af.
Opgave 5: An heeft 55 snoepjes nodig. Een snoepje kost 0,75 euro. Hoeveel moet ze betalen?
a. 55 x 0,75 b. 55 + 0,75 c. 55 – 0,75 d. 55 : 0,75
Kreeft kost 55 euro per kilogram. Hoeveel kost een kreeft van 0,75 kilogram?
a. 55 x 0,75 b. 55 + 0,75 c. 55 – 0,75 d. 55 : 0,75
Voor welke bewerking kies je? Bij welk vraagstuk kost dit jou het meest moeite?
Voor beide vraagstukken is de juiste bewerking dezelfde, nl. alternatief a. Bijna alle groep 8 leerlingen uit onze studie kozen moeiteloos voor de juiste bewerking bij de bovenste opgave, maar bij de onderste slaagde slechts een minderheid daarin.
Beide vraagstukken hebben heel veel gemeen. Maar terwijl in het eerste vraagstuk het getal 0,75 de rol van vermenigvuldigtal speelt, speelt datzelfde getal in de tweede opgave de rol van vermenigvuldiger.
Elke rekenoperatie is gekoppeld aan een impliciet model. Bepalen welke bewerking nodig is om een vraagstuk op te lossen wordt bemiddeld door deze impliciete modellen. Het impliciete model voor de vermenigvuldiging is het gelijke-groepen model, waarbij een aantal sets van dezelfde grootte worden samengevoegd of een set een aantal keer wordt genomen. Maar dit model gaat gepaard met twee beperkingen: (1) de vermenigvuldiger moet een geheel getal zijn en (2) het resultaat van de vermenigvuldiging moet groter zijn dan het vermenigvuldigtal. Voor het eerste vraagstuk wordt geen van beide beperkingen geschonden. Daarom herkennen we in de eerste opgave makkelijk en snel de vermenigvuldiging. Maar voor het tweede vraagstuk worden beide beperkingen wel geschonden. Daardoor wordt het veel moeilijker om in te zien dat je de getallen moet vermenigvuldigen om het juiste antwoord te bekomen. Ook de andere bewerkingen (+,-, en :) hebben hun impliciet model, met bijhorende beperkingen.
Opgave 6: Rondom een vierkantig bloemenperk met een zijde van 10 m wordt een pad aangelegd. Het pad bestaat uit één rij vierkante tegels met een zijde van een halve meter. Hoeveel tegels zijn daarvoor nodig?
Vraagstukken worden ook ingeschakeld om leerlingen probleemoplossende vaardigheden bij te brengen zoals heuristieken. Dat zijn verstandige aanpak- en zoekstrategieën die helpen om de knoop in een lastig vraagstuk te ontwarren, evenwel zonder garantie op succes te bieden. Een bekend voorbeeld van een heuristiek, die vooral handig is om dit vraagstuk op te lossen, is het maken van een schets van de probleemsituatie. Zo word je je bewust van het wiskundig modelleringsprobleem dat zich stelt rond de vier “hoektegels” en hoe je daar in je berekeningen mee moet omgaan: 4 x 20 = 80 tegels en daar nog de 4 hoektegels bij is 84 (zie onderstaande tekening). Andere voorbeelden van heuristieken zijn: splits het probleem op in deelproblemen, denk aan een verwant probleem.
Leerlingen die goed vraagstukken kunnen oplossen passen veel vaker heuristieken toe dan zwakke probleemoplossers.
Opgave 7: Een honkbalknuppel en bal kosten samen € 1,10. De knuppel kost € 1,00 meer dan de bal. Hoeveel kost de bal? _____ cent
Velen denken: $ 1 voor de knuppel en 10 cent voor de bal, dat is samen € 1,10. Maar dat klopt niet, want dan is het verschil tussen beide geen € 1,00 maar slechts 90 cent. Als de knuppel € 1,05 kost en de bal 5 cent, dan klopt het wel, want dan is het verschil tussen beide € 1,00 en de som € 1,10.
Talrijke studies hebben aangetoond dat, naast toepassing van heuristieken, twee andere, meer algemene vaardigheden ook nog een cruciale rol spelen bij het oplossen van vraagstukken:
- Het vermogen om oppervlakkige aanpakstrategieën (bijvoorbeeld: ‘meer’ = optellen; ‘keer’ = vermenigvuldigen) te onderdrukken (=inhibitie)
- Het vermogen om het eigen probleemoplossingsproces te reguleren (Wat is mijn plan? Heeft deze stap mij dichter bij de oplossing gebracht? Is mijn uitkomst redelijk?)
Goede en zwakke oplossers van vraagstukken verschillen in hun vermogen om oppervlakkige aanpakstrategieën te inhiberen en hun eigen denkproces te reguleren.
Opgave 8: Een man wil een touw spannen tussen twee palen van 12 m, maar hij heeft enkel stukken touw van 1,5 m lang. Hoeveel van deze stukken moet hij aan elkaar knopen om de palen met elkaar te verbinden?
Uit een onderzoek bij Vlaamse groep 7 leerlingen bleek dat de overgrote meerderheid van de kinderen dit vraagstuk op de voorspelbare, routinematige manier beantwoorde door de bewerking uit te voeren die in het vraagstuk “verscholen” zit (12:1,5=8 stukken), zonder enige verdere realistische vraag of commentaar. Slechts enkelen lieten in hun aanpak en/of antwoord zien dat zij zich bewust waren van het realistisch modelleringsprobleem dat in het vraagstuk vervat zit, nl. dat er ook een hoeveelheid touw nodig is om de stukken touw aan elkaar en aan de palen te knopen.
Onderzoekers hebben zich afgevraagd waar deze sterke neiging tot niet-realistisch modelleren van vraagstukken bij leerlingen vandaan komt. Kort gezegd komt hun antwoord hierop neer dat die neiging ontstaat en groeit als gevolg van (1) de aard van de vraagstukken waarmee leerlingen dagelijks worden geconfronteerd in hun wiskundelessen en -toetsen en (2) de manier waarop deze vraagstukken door de leraar worden aangepakt in de wiskundelessen.
Uit onderzoek is gebleken dat het mogelijk is om die neiging te onderdrukken via aangepaste instructie gebaseerd op drie pijlers: (1) realistische en uitdagende taken, die authentieke wiskundige modelleringstaken zo goed mogelijk benaderen – meer dan klassieke schoolvraagstukken dit doen (zoals onderstaand voorbeeld); (2) een combinatie van klassikaal onderwijs (demonstratie en uitleg), werk in kleine groepen en individueel werk, met sterke ondersteuning, feedback en hulp van de leraar; (3) een klasklimaat waarin ruim plaats is voor verkenning en bespreking van de affectieve kant van het leren wiskundig modelleren.
